Formalisme hilbertien de la mécanique quantique, et logique quantique de Von Neumann

Nous poursuivons ici par quelques rappels techniques le travail d'évaluation des formalismes "standard" de la mécanique quantique , dûs à Von Neumann. Le but étant de s'acheminer vers la physique des topos. 

Le cadre mathématique général est un espace de Hilbert complexe H, à dimension infine et séparable (c'est à dire qu'il existe un ensemble dénombrable dense dans H);

on a donc un produit scalaire, noté (Dirac) ‹φ ι ψ›, linéaire en ψ et linéaire conjugué en φ.

 B(H) désignera l'espace des opérateurs bornés de H

Si  X ∈ B(H) son opérateur adjoint X^* est défini par :  ‹φ ι X*ψ› = ‹Xφ ι ψ›

X est dit hermitien, ou auto-adjoint, si X = X^* , isométrique si X^* X = I (opérateur identité) ; si de plus XX^* = I X est dit unitaire.

Une projection est un opérateur auto-adjoint et idempotent : X = X^*  = X² ; les projections sont bornées, l'ensemble des projections est noté P(H), des projections particulières sont 0 et I, et si A est un projection non nulle elle est de norme 1.

Deux projections A,B sont dites orthogonales (ou disjointes) si AB = BA = 0

Les quantités Q observables ou mesurables du système étudié sont représentées par les opérateurs auto-adjoints Q  de H, qui peuvent être non bornés.

Les valeurs possibles pour Q parcourent le spectre de Q , σ(Q), qui est défini comme C \ R(Q) où R(Q) est la résolvante de Q, soit l'ensemble des nombres complexes q ∈ C tels que l'opérateur (Q - qI) a un inverse borné dans B(H). Si Q est auto-adjoint , donc si c'est un observable, le spectre est un sous-ensemble de R (valeurs mesurées réelles donc : ouf !). Le nombre q est une valeur propre de Q s'il existe un u non nul dans H tel que :

                    Qu = qu

Si q est une valeur propre alors évidemment q  ∈ σ(Q) mais l'inverse n'est pas vrai.

Ainsi par exemple les opérateurs de position et de moment (analogue de la quantité de mouvement) dans l'espace des fonctions complexes de carré intégrable sur R , L²(R) , n'ont pas de valeurs propres mais ont comme spectre (donc comme "valeurs possibles)  le corps R : les variables correspondantes peuvent donc être mesurées, contrairement à l' objection de Rosinger dans l'article précédent. Mais cela ne remet pas en cause les doutes de Von Neumann !

L'opérateur de position  Q : L²(R)  → L²(R)  envie une fonction f sur Qf avec : Qf(x) = xf(x) (son domaine de définition est donc l'ensemble des fonctions de carré intégrable telles que xf(x) soit aussi de carré intégrable).

L'opérateur de moment P envoie f sur Pf avec :  Pf(x) = -i (d/dx)f(x)

Les opérateurs P et Q se correspondent par la transformation de Fourier, ainsi que par la commutation de Heisenberg (meant aux fameuses relations d'incertitude):

              (QP - PQ) f = if

Théorème spectral pour les opérateurs hermitiens.

(article technique, en transformation et élaboration perpétuelle)