Le rire de la servante de Thrace

Nous poursuivons ici par quelques rappels techniques le travail d'évaluation des formalismes "standard" de la mécanique quantique , dûs à Von Neumann. Le but étant de s'acheminer vers la physique des topos. 

Le cadre mathématique général est un espace de Hilbert complexe H, à dimension infine et séparable (c'est à dire qu'il existe un ensemble dénombrable dense dans H);

on a donc un produit scalaire, noté (Dirac) ‹φ ι ψ›, linéaire en ψ et linéaire conjugué en φ.

 B(H) désignera l'espace des opérateurs bornés de H

Si  X ∈ B(H) son opérateur adjoint X^* est défini par :  ‹φ ι X*ψ› = ‹Xφ ι ψ›

X est dit hermitien, ou auto-adjoint, si X = X^* , isométrique si X^* X = I (opérateur identité) ; si de plus XX^* = I X est dit unitaire.

Une projection est un opérateur auto-adjoint et idempotent : X = X^*  = X² ; les projections sont bornées, l'ensemble des projections est noté P(H), des projections particulières sont 0 et I, et si A est un projection non nulle elle est de norme 1.

Deux projections A,B sont dites orthogonales (ou disjointes) si AB = BA = 0

Les quantités Q observables ou mesurables du système étudié sont représentées par les opérateurs auto-adjoints Q  de H, qui peuvent être non bornés.

Les valeurs possibles pour Q parcourent le spectre de Q , σ(Q), qui est défini comme C \ R(Q) où R(Q) est la résolvante de Q, soit l'ensemble des nombres complexes q ∈ C tels que l'opérateur (Q - qI) a un inverse borné dans B(H). Si Q est auto-adjoint , donc si c'est un observable, le spectre est un sous-ensemble de R (valeurs mesurées réelles donc : ouf !). Le nombre q est une valeur propre de Q s'il existe un u non nul dans H tel que :

                    Qu = qu

Si q est une valeur propre alors évidemment q  ∈ σ(Q) mais l'inverse n'est pas vrai.

Ainsi par exemple les opérateurs de position et de moment (analogue de la quantité de mouvement) dans l'espace des fonctions complexes de carré intégrable sur R , L²(R) , n'ont pas de valeurs propres mais ont comme spectre (donc comme "valeurs possibles)  le corps R : les variables correspondantes peuvent donc être mesurées, contrairement à l' objection de Rosinger dans l'article précédent. Mais cela ne remet pas en cause les doutes de Von Neumann !

L'opérateur de position  Q : L²(R)  → L²(R)  envie une fonction f sur Qf avec : Qf(x) = xf(x) (son domaine de définition est donc l'ensemble des fonctions de carré intégrable telles que xf(x) soit aussi de carré intégrable).

L'opérateur de moment P envoie f sur Pf avec :  Pf(x) = -i (d/dx)f(x)

Les opérateurs P et Q se correspondent par la transformation de Fourier, ainsi que par la commutation de Heisenberg (meant aux fameuses relations d'incertitude):

              (QP - PQ) f = if

Théorème spectral pour les opérateurs hermitiens.

(article technique, en transformation et élaboration perpétuelle)

Le chapitre premier du "grand" livre (grand par l'intérêt philosophique exceptionnel , qu'Alain Connes a d'ailleurs salué dans la préface) de Lee Smolin : "The trouble with physics" ("Rien ne va plus en physique") est intitulé : "La révolution inachevée"

La révolution inachevée, ou incomplète, c'est la révolution copernicienne et newtonienne (si l'on se restreint à la physique; en philosophie, elle va de pair avec la révolution cartésienne puis spinoziste) des 16 ème et 17 ème siècle.

Le livre de Smolin n'est à ma connaissance pas (encore)  en free access sur Internet, mais il existe un papier extrêmement important de Carlo Rovelli (qui trabaille avec Smolin) qui explique bien cet inachèvement et surtout essaie de donner des pistes pour y remédier :

 The century of the incomplete revolution: searching for general relativistic quantum field theory :

  http://arxiv.org/abs/hep-th/9910131

 cet article mérite une étude approfondie et je ne le cite ici qu'à titre programmatique (pour travail futur), et pour les lecteurs intéressés par ce genre de chose : c'est à mon avis un papier qui mérite qu'on s'attarde un peu dessus (alors qu'il y en a tant qui ne méritent même pas 10 minutes).

Mais si l'on se reporte à la conclusion, il place bien l'inachèvement actuel (c'est à dire, disons le, l'enlisement de la physique mathématique depuis 25 ou 30 ans, depuis la dernière grande réalisation intellectuelle qu'est le modèle standard, dû au fait maintenant difficile à nier que la théorie des cordes n'a pas tenu ses promesses) dans la perspective de la révolution copernicienne, et se montre optimiste, espérant que les "manques" seront comblés, dans une future théorie faisant la jonction entre relativité générale et physique quantique, en un délai plus court que celui qui a séparé Copernic de Newton !

Il dit aussi, en conclusion, que cette théorie future , qui réalisera la "jonction" et comblera l'inachèvement, et qui aura l'actuelle relativité générale (qui marche tellement bien, et constitue par elle même une cathédrale conceptuelle grandiose) comme "limite classique" (classique = non-quantique), ne sera à son avis pas atteinte dans une "théorie de tout" (theory of everything : très à la mode il y a 20 ans) ou dans un Lagrangien "total", mais dans un cadre conceptuel entièrement neuf.

Cette quête de Rovelli correspond à ce que Smolin appelle, dans son chapitre 1, le premier des "cinq grands problèmes de la physique théorique" : le problème de la gravité quantique :

réunir la relativité générale et la théorie quantique dans une théorie unique, qui pourrait prétendre être la théorie complète de la nature

Rovelli et Smolin cherchent la solution dans la "gravité quantique à boucles".

Le second problème qu'indique Smolin est celui des "fondements de la mécanique quantique" : donner un sens à la théorie telle qu'elle existe actuellement, ou trouver une nouvelle théorie qui elle, aura un sens clair.

Car la mécanique quantique, si elle marche elle aussi extraordinairement bien au niveau des prédictions innombrables qu'elle permet, s'avère troublante pour l'esprit...Einstein n'était pas à l'aise avec elle , et Richard Feynman a fait à son propos une plaisanterie révélatrice et plus sérieuse qu'il n'y parait :

"si vous comprenez quelque chose à la mécanique quantique, c'est que vous n'avez rien compris à la mécanique quantique"

Ces deux esprits, Einstein et Feynman, à coup sûr deux physiciens géniaux, m'apparaissent comme l'exemple-type d'une polarité, ou peut être d''une dualité irréconciliable : Einstein est à la fois savant (physicien), et philosophe : il veut comprendre, et, influencé par l'étude de Spinoza, il est persuadé qu'il n'y a absolument rien qui est à jamais au delà , par principe, de la compréhension humaine, même si celle ci s'avère limitée actuellement et encore dans les langes. Aussi quand il ne comprend pas, Einstein est insatisfait mais ne s'avoue en aucun cas vaincu : il cherche à comprendre. D'où sa quête, en grande partie solitaire , d'une théorie qui remplacerait la mécanique quantique dans ce qu'elle a d'incompréhensible .... une quête qui a duré jusqu'à sa mort.

Alors qu'Einstein était un piètre mathématicien, et qu'il lui a fallu travailler (sur les tenseurs, la géométrie différentielle, etc...) énormément pour élaborer le versant mathématique de sa théorie, Feynman était très doué pour les mathématiques, tout au moins sous leur aspect calculatoire. Feynman se méfie de la philosophie, et de la "théorie", il cherche plus à trouver quelque chose (un calcul, extrêmement sophistiqué) pour que "ça marche"....et il a pour cela un génie étonnant (qui lui permet d'élaborer les diagrammes de Feynman par exemple). Il est aussi, comme Dirac, d'un athéisme extrême et provocateur (il a rompu très tôt avec le judaïsme de son milieu, comme son père d'ailleurs me semble t'il)

Einstein est avec Spinoza (son maître en philosophie) et Brunschvicg l'une de nos trois sources principales  d'inspiration  pour ce blog et sa recherche "religieuse". Il n'était en aucun cas un athée, ni d'ailleurs un "croyant" au sens des religions existantes, comme le montrent un florilège de ses citations à propos de son attitude religieuse, voir:

http://www.blogg.org/blog-64760-billet-citations_d_einstein_sur_la_religion-659639.html

Si j'en extrais celles-ci :

"Je crois au Dieu de Spinoza, qui se révèle dans l'ordre harmonieux de ce qui existe, et non en un dieu qui se préoccupe du sort et des actions des êtres humains."
(Albert Einstein / 1879-1955 / Télégramme au rabbin Goldstein de New York, avril 1929)

Je ne peux pas imaginer un Dieu qui récompense et punit l'objet de sa création. Je ne peux pas me figurer un Dieu qui réglerait sa volonté sur l'expérience de la mienne. Je ne veux pas et je ne peux pas concevoir un être qui survivrait à la mort de son corps. Si de pareilles idées se développent en un esprit, je le juge faible, craintif et stupidement égoïste."
(Albert Einstein / 1879-1955 / Comment je vois le monde / 1934)

"Cette conviction, liée à un sentiment profond d'une raison supérieure, se dévoilant dans le monde de l'expérience, traduit pour moi l'idée de Dieu."
(Albert Einstein / 1879-1955 / Comment je vois le monde / 1934)

"J'affirme que le sentiment religieux cosmique est le motif le plus puissant et le plus noble de la recherche scientifique."
(Albert Einstein / 1879-1955 / Idées et opinions)

"L'escalier de la science est l'échelle de Jacob, il ne s'achève qu'aux pieds de Dieu."
(Albert Einstein / 1879-1955)

"A force de lire des ouvrages de vulgarisation scientifique, j'ai bientôt eu la conviction que beaucoup d'histoires de la Bible ne pouvaient pas être vraies. La conséquence a été une véritable orgie fanatique de libre pensée accompagnée de l'impression que l'Etat trompe intentionnellement la jeunesse par des mensonges. C'était une impression écrasante. Cette expérience m'a amené à me méfier de toutes sortes d'autorité, à considérer avec scepticisme les convictions entretenues dans tout milieu social spécifique : une attitude qui ne m'a jamais quitté, même si par la suite, parce que j'ai mieux compris les mécanismes, elle a perdu de son ancienne violence."
(Albert Einstein / 1879-1955)


"Ce que vous avez lu sur mes convictions religieuses était un mensonge, bien sûr, un mensonge qui est répété systématiquement. Je ne crois pas en un Dieu personnel et je n'ai jamais dit le contraire de cela, je l'ai plutôt exprimé clairement. S'il y a quelque chose en moi que l'on puisse appeler "religieux" ce serait alors mon admiration sans bornes pour les structures de l'univers pour autant que notre science puisse le révéler."
(Albert Einstein / 1879-1955 / "Albert Einstein : le côté humain" édité par Helen Dukas et Banesh Hoffman, lettre du 24 mars 1954)

"La science sans religion est boiteuse, la religion sans science est aveugle."
(Albert Einstein / 1879-1955)

alors il est clair que le "Dieu des philosophes et des savants", tel que nous le "définissons" ici en nous inspirant de Brunschvicg, est aussi le "Dieu" d'Einstein !

Je me trompe peut être mais je suis persuadé que Feynman aurait jugé très sévèrement (ou plutôt aurait ignoré, ou ridiculisé) les thèses qui sont endossées ici : il les aurait assimilées à ce qu'il a vitupéré comme "science du culte du Dieu-cargo"  :

http://wwwcdf.pd.infn.it/~loreti/science.html

à tort bien entendu, à mon avis ! car notre attitude "religieuse" est tout à fait éloignée des balivernes mystiques, occultes, paranormales, et s'en tient à une fidélité rationaliste qui se veut totale (reste à savoir si elle y parvient !). Pour nous, à la suite de Brunschvicg, Vacherot, Parodi, Fichte, Xavier Léon etc... le rationalisme est, dans sa dimension la plus haute, de nature religieuse, ne fût ce que par son "éthique de la connaissance" qui l'oblige à refuser toute compromission, toute facilité qui permettrait de se passer des "démonstrations qui sont les yeux de l'âme".

Bien entendu j'exagère et simplifie sans doute beaucoup à propos de Feynman, qui est lui aussi un géant de la science et donc de l'esprit....un homme admirable aussi, d'un humour (juif) qui nous manque sans doute ici, et je ne peux résister à rappeler cette boutade qu'il a prononcée sur son lit de mort, en 1988 :

"je n'aimerais pas avoir à mourir deux fois, c'est tellement chiant ("boring") !"

et puis si Feynman est, dans une certaine mesure, tel que je l'ai dépeint (mais encore une fois en simplifiant beaucoup) il me faut tout de suite ajouter que l'humanité a besoin de gens comme lui : en 1986 il a dirigé l'équipe d'ingénieurs qui ont été chargés d'expliquer l'accident de la navette Challenger, et il s'est acquitté à merveille de cette tâche difficile... j'ajouterai aussi, mais là c'est moins admirable à mon avis, qu'il a participé au projet "Manhattan" de construction de la première bombe atomique, en 1943-45, et que sa virtuosité mathématique (calculatoire) a rendu de grands services.

Si l'on admet la "dualité" qui vient d'être évoquée, Feynman est le représentant de l'empirisme et du pragmatisme anglo-saxon, allié à une conception de la mathématique non comme pensée mais comme calcul formel permettant que "ça marche" (et assurant ainsi à l'espèce humaine des possibilités de manipulation illimitées sur la nature, sans déboucher sur une "compréhension" qui de toutes façons est un rêve); Einstein est celui du rationalisme continental (germanique-européen). Mais ne peut on retrouver dans cette dualité, ou polarité, le débat qui selon Michel Bitbol oppose, sur le sujet de la mécanique quantique, les empiristes et les réalistes ? voir la thèse de Bitbol sur la déduction transcendantale de la mécanique quantique :

http://pagesperso-orange.fr/michel.bitbol/transcendental.html

qui commence par :

"The debate on the interpretation of quantum mechanics has been dominated by a lasting controversy between realists and empiricists. The basic tenet of realists is that quantum mechanics tends to describe (either completely or incompletely) an intelligible reality underlying the phenomena. By contrast, some of the most consistent empiricists have considered quantum mechanics as a mere formal device enabling one to account as economically as possible for the statistical regularities of phenomena defined relative to certain experimental devices described in classical terms. As for physicists, they have often tried to combine some fragments of an ontological discourse with empiricist or positivist professions of faith "

Ainsi ce qui aurait manqué à Einstein pour rompre définitivement avec le "réalisme" (qu'il aurait hérité des résidus dogmatiques et "euclidiens" dépassés du spinozisme) c'est l'étude de Brunschvicg et de l'idéalisme philosophique.

Un idéalisme transcendantal (kantien) que Bitbol revendiquerait mettrait au travail dans sa thèse ci dessus... bref il suffirait de lire Bitbol pour trouver la solution du second problème de Smolin ?

mais souvenons nous que Brunschvicg nous a mis en garde contre certaines conceptions de l'idéalisme se réclamant de Kant, et contre certaines tentatives "logicistes" consistant à "dériver" tout ce qu'il est envisageable de connaître de systèmes d'axiomes ou de "principes"...

or c'est ici qu'apparait un autre problème, celui de la rigueur et des fondations mathématiques, signalé dans toute sa gravité par E Rosinger, par exemple dans les extraits de forums scientifiques suivants :

http://www.lns.cornell.edu/spr/2003-11/msg0056333.html

http://www.lns.cornell.edu/spr/2003-12/msg0057096.html

et dans son article "Deficient mathematical models of quantum theory" :

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0510/0510138v1.pdf

Nous y apprenons que Von Neumann, l'un des fondateurs de la physique quantique mathématique, a "confessé qu'il ne "croyait plus au formalisme des espaces de Hilbert pour la mécanique quantique" (celui que Bitbol tente de "dériver transcendantalement").

Rosinger montre que ce formalisme est mathématiquement déficient par manque de rigueur et inconsistance : en effet, en se restreignant au modèle le plus simple d'un mouvement sur un ligne à une dimension, où l'espace de Hilbert de référence ("state space")  est L² (R), les cours élémentaires d'analyse fonctionnelle montrent que ni l'observable de position X ni celui de moment P (qui sont des opérateurs auto-adjoints dans le formalisme hilbertien qui est le premier inventé par Von Neumann) n'ont de vecteurs propres et de valeurs propres dans L² (R) (fonctions de carré intégrable) :

"Now, any better first course in Linear Functional Analysis will point out
that neither the position observable X, nor the momentum observable P have
eigenvectors in the state space L^2(R). Thus they cannot have eigenvalues
either, see for instance the popular book of E Kreyszig, "Introductory
Functional Analysis with Applications", Wiley, New York, 1978, pp. 565 and
569.

This certainly contradicts the usual axioms of Quantum Mechanics, since it
follows that within the given state space L^2(R), such basic observables
like position X and momentum P simply cannot be observed, as they fail to
have eigenvalues !"

pour résumer : les "observables" de position et de moment (les deux observables basiques) ne peuvent pas être mesurés, si l'on s'en tient à la rigeur du formalisme (puisqu'un résultat de mesure d'un observable ne peut être qu'une valeur propre de l'opérateur correspondant )!!!

On doit à Von Neumann deux autres formalismes mathématiques de la mécanique quantique : celui des C*-algèbres et celui de la "logique quantique".

Mais ils sont entachés d'une déficience par rapport à celui des espaces de Hilbert, qui est le premier : c'est en celui ci seulement que la fonction d'onde ψ (à valeur complexe) était susceptible d'être interprétées (interprétation du type "Max Born") comme  densité de probabilité de la "particule" dans l'espace d'état : la densité de probabilité qu'a la particule de se trouver dans une région infinitésimale autour de "x" est le carré du module de ψ(x) : ιΨ(x)ι²

D'après Rosinger ces déficiens mathématiques ("basic failures") ne sont pas évoquées dans des textes pourtant réputés pour leur rigueur conceptuelle, comme par exmple le livre de Haag : "Local quantum physics". Et la mécanique quantique est la seule théorie physique à être entachée de déficiens aussi graves, qui touchent à la rigueur mathématique et donc conceptuelle.

Rosinger pense que si elle marche si bien, c'est à cause d'artifices de calcul formels et de "bonnes intuitions" (???!!!):

"Quantum Mechanics
happens to be the only basic theory of physics which does not have a
rigorous enough mathematical model, although it has several such models.
Physicists nevertheless manage to deal with this situation due to various
purely formal or symbolic devices and their manipulations, based on what
usually goes by the name of "good physical intuition". "

Là encore la théorie des catégories propose des alternatives, à la fois théoriques et formelles : dans son article Rosinger cite les travaux de Coecke et Abramsky:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/0402130

http://arxiv.org/abs/quant-ph/0510032

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0808/0808.1023v1.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/cs/pdf/0207/0207057v2.pdf

basés sur les "catégories fermées compactes", mais d'après Rosinger ces cadres mathématiques sont encore entachés des mêmes déficiences que le second et troisième modèle de Von Neumann : impossibilité de caractériser un espace de configuration (correspondant à l'espace abstrait de Hilbert du premier modèle de Von Neumann)et d'interpréter une fonction d'onde comme amplitude de probabilité relative à une "localisation" dans l'espace de configuration.

Dans un autre article ravageur :

http://arxiv.org/abs/quant-ph/0408191

Rosinger s'en prend aux théorèmes de Von Neumann, Gleason et Kochen-Specker concluant à l'impossibilité des théories à variables cachées. Cette fois ses arguments ne sont pas mathématiques mais physiques. Il remarque aussi que les théories bohmiennes réfutent par leur existence même l'impossibilité affirmée par les dits théorèmes.

J'ai toujours cru (et crois toujours) que le livre de Haag était très rigoureux, mais il existe à propos du formalisme hilbertien un autre livre, très réputé et dont rosinger ne parle pas , celui de Prugovecki : "Quantum mechanics in Hilbert space"

On le trouve chez Dover, à prix très modique donc ...

on peut aussi le télécharger gratuitement sur le site suivant, avec tout un tas dautres livres sur la théorie quantique des champs, mais hélas le texte est difficilement lisible :

http://phyzick.biz/

Webpage de Prugovecki avec des articles téléchargeables :

http://individual.utoronto.ca/prugovecki/

Le livre "Quantum mechanics in Hilbert space" est aussi en Googlebooks, afichage d'extraits limités...cela peut permettre de corriger les passages illisibles provenant du site de téléchargement :

 http://books.google.fr/books?id=GxmQxn2PF3IC&printsec=frontcover&dq=prugovecki+quantum+mechanics+hilbert+space

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